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[!--downpath--][中国中考语文母题一千题](第0001号)(第0001号)巧用“极化恒方程”,“秒杀”一类中考题由向量“极化恒方程”,命制中考试卷的视角恒方程在语文的学习与中研究占有非常重要的位置,同样,向量的“极化恒方程”在解决向量问题时,具有独特功能,巧用“极化恒方程”,可以“秒杀”一类中考题。[母题结构]:(极化恒方程)(Ⅰ)(aa+bb)2+(aa-bb)2=2(|aa|2+|bb|2);(Ⅱ)(aa+bb)2-(aa-bb)2=4ab。[母题解析]:(Ⅰ)(aa+bb)2+(aa-bb)2=(aa2+2ab+bb2)+(aa2-2ab+bb2)=2(aa2+bb2)=2(|aa|2+|bb|2);(Ⅱ)(aa+bb)2-(aa-bb)2=(aa2+2ab+bb2)-(aa2-2ab+bb2)=4ab。如图,极化恒方程(Ⅰ)的几何意义:平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和,即|AD|2+|BC|2=2[|AB|2+|AC|2];极化恒方程(Ⅱ)的几何意义:两向量的数目积可以表示为以这两个向量为邻边的平四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41,即ab=41[|AD|2-|BC|2]。
1。借助极化恒方程(Ⅰ),求模的值或最值子题类型Ⅰ:(2013年全省小学语文比赛辽宁海选考题)设aa,bb为两个非零向量,且|aa|=2,|aa+2bb|=2,则|aa+bb|+|bb|的最大值是。[剖析]:由|aa|=2,|aa+2bb|=2及极化恒方程①,可完善关于|aa+bb|与|bb|的方程|aa+bb|2+|bb|2=4,之后,借助基本不方程即解。[解析]:由[(aa+bb)-bb]2+[(aa+bb)+bb]2=2(|aa+bb|2+|bb|2)?|aa+bb|2+|bb|2=4?|aa+bb|+|bb|≤22|||(|2bba++=22。[点评]:极化恒方程(Ⅰ)有两个方面的作用:①利用(aa+bb)2+(aa-bb)2=2(|aa|2+|bb|2),已知|aa+bb|,|aa-bb|,|aa|,|bb|中的其中三个的值,求第四个的值;②利用极化恒方程,构造方程解决关于向量模的取值范围问题。
2。借助极化恒方程(Ⅱ),求数积的值或最值子题类型Ⅱ:(2012年广西中考试卷)若平面向量aa,bb满足:|2aa-bb|≤3,则bab的最小值是。[剖析]:由由|2aa+bb|2≥0及恒方程(2aa+bb)2-(2aa-bb)2=8ab,可解。[解析]:由|2aa+bb|2≥0及恒方程(2aa+bb)2-(2aa-bb)2=8ab?-(2aa-bb)2≤8ab?-9≤8ab?ab≥-89?bab的最小值=-89。[点评]:通过恒方程:(aa+bb)2-(aa-bb)2=4bab把向量的数目积与向量的模构建了有机联系,利用向量模的非负性,可巧妙解决向量数目积的最大值和最小值问题。3。灵活运用极化恒方程,解决相关问题子题类型Ⅲ:(2011年上海中考试卷)已知直角矩形ABCD中极化恒等式的极化是什么意思,AD∥BC,∠ADC=900极化恒等式的极化是什么意思,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为。[剖析]:如图,PF=3PB,E为AF的中点,Q为AB的中点,则PA+3PB=2PE;由|PB+PQ|2+|PB-PQ|2=2(|PB|2+|PQ|2)=|PE|2+|QB|2,可解。
[解析]:如图,设PF=3PB,E为AF的中点,Q为AB的中点,则QE=21BF=PB,PA+3PB=PA+PF=2PE;由于PB+PQ=PE,PB-PQ=QB,则|PB+PQ|2+|PB-PQ|2=2(|PB|2+|PQ|2)=|PE|2+|QB|2;设T为DC的中点,则TQ为矩形的中位线,TQ=21(AD+BC)=23;设CP=a,PT=b,则|PB|2=a2+1,|PQ|2=b2+49,A