比定容比热容公式推导涉及到一些物理概念和公式，以下是其中一些推导过程：
1. 理想气体状态方程：PV=nRT
2. 摩尔热容的定义式：ΔQ=nmΔT
3. 摩尔热容与温度的关系：Cv=Cv(T) = Cp(T) = R
4. 能量守恒定律：Q=ΔU
5. 理想气体比热容的定义式：Cp，m=dU/dT
将以上公式结合在一起，可以得到比定容比热容的公式：
Cv = dU/dT = (nRΔT)/(V) = (mR/M)ΔT = R/V
其中，Cv是比定容比热容，V是气体的体积，M是摩尔质量，m是气体质量，R是气体常数。这个公式表明，比定容比热容等于气体常数除以体积，与物质的量、温度和体积的变化有关。
另外，还可以通过其他途径推导比定容比热容公式，例如使用克拉珀龙方程等。
假设有一个封闭的容器，其容积为V，内部充满某种物质，其质量为m。在温度变化ΔT的过程中，物质的体积变化了ΔV，物质的温度变化了ΔT。根据热力学第一定律，物质需要吸收或放出的热量Q等于内能的变化量ΔU，即：
Q = ΔU
对于封闭容器内的物质来说，其内能的变化量ΔU等于其分子动能的变化量，即：
ΔU = ∑(k) n(i) (E_{i,max} - E_{i,min})
其中n(i)是物质分子i的数量，E_{i,max}和E_{i,min}分别是物质分子i的动能最大值和最小值。由于温度变化ΔT时，分子动能的变化量ΔE与热容Cv有关，即：
ΔE = Cv \Delta T
因此有：
Q = n(i) Cv \Delta T
其中n(i)是物质分子i的数量。将这个公式代入到初始的公式中，得到：
Q = ΔV \frac{m}{V} Cv \Delta T
由于物质的体积变化量ΔV与物质的密度ρ有关，即ΔV = \rho \Delta V，因此有：
Q = \rho \Delta V Cv \Delta T
将这个公式代入到比定容比热容公式Cv = \frac{Q}{\rho \Delta V}中，得到：
Cv = \frac{\Delta V Cv \Delta T}{\rho}
