巴尔末公式是描述氢原子光谱的公式，其推导过程涉及到量子力学和波粒二象性等概念。具体来说，巴尔末公式是通过将氢原子光谱的可见光部分按照波长进行排序，发现这些波长的表达式具有类似的规律。
推导过程如下：
1. 根据经典电磁理论和薛定谔方程，氢原子中的电子在各个能级之间跃迁时会辐射或吸收一定频率的光子。
2. 通过对光谱中各个波长的观察，发现其规律性。具体来说，将氢原子光谱的可见光部分按照波长进行排序，发现这些波长的倒数之间存在一个近似的关系式。
3. 这个近似关系式被称为里德伯公式。巴尔末公式是里德伯公式的一个子集，仅用于描述氢原子光谱中的可见光部分。
综上所述，巴尔末公式的推导过程涉及到量子力学和波粒二象性等概念，需要通过观察氢原子光谱中的波长并加以分析得出。
假设氢原子从基态跃迁到第n级能级，根据经典物理理论，该过程需要吸收一定频率的光子，即：
E_{n} - E_{1} = hv
其中E_{n}和E_{1}分别是第n级和基态的能量，v是吸收的光子的频率。
根据量子力学理论，氢原子从基态跃迁到第n级能级时，该过程释放的光子的频率为：
v = hc/R
其中R是里德伯常数，其值为1.097373177269234 × 10^7 m^-1。
将两个公式联立，可以得到：
E_{n} - E_{1} = hc/R
由于E_{n}和E_{1}已知，可以通过求解上式得到v。当v满足巴尔末公式时，可以求出n的值。
例如，假设氢原子从基态跃迁到第2级能级，根据经典物理理论，需要吸收频率为v的光子。代入已知数据可以得到：
E_{2} - E_{1} = hv = 1.51 × 10^(-18) J·s × 2.4 × 10^(-7) m/s = 3.64 × 10^(-19) J
根据量子力学理论，该过程释放的光子频率为：
v = hc/R = 6.63 × 10^(-34) J·s × 2.998 × 10^8 m/s / (8.217 × 10^(-16) m) = 2.48 × 10^(-4) Hz
将两个频率值比较可以得到满足巴尔末公式的结果为：
n = (hv - hv_1) × R / (hv_2 - hv_3) = (2.48 × 10^(-4) Hz - 4.53 × 10^(-4) Hz) × 8.217 × 10^(-16) m / (6.63 × 10^(-34) J·s × 2.4 × 10^(-7) m/s) = 2
因此，氢原子从基态跃迁到第2级能级的频率为巴尔末公式中的v_2 = 6.56 × 10^(-4) Hz。这个例子说明了如何通过巴尔末公式推导求解氢原子能级差，并给出了一个具体的数值结果。
