高中数学竞赛题包括以下几种类型：
函数与导数：包括函数性质、函数的单调性和奇偶性、函数的极值和最值、导函数、导数与函数的单调性、极值和最值等。
数列：这部分的竞赛题通常包括简单数列、等差数列与等比数列的判定、数列的通项公式和求和公式、数列的性质等。
几何：包括平面几何与立体几何，平面几何的竞赛题有三角形、圆和圆与圆的位置关系等，立体几何主要考查空间几何体和三视图等。
不等式：包括不等式的证明、不等式求解等。
组合：包括组合数性质、组合数公式的应用等。
概率与统计：包括二项式定理、离散型随机变量的期望和方差等。
此外，高中数学竞赛题还包括三角问题、三角不等式证明、数论入门问题、代数入门问题等。这些题目通常比较难，适合有一定数学基础的学生练习。
请注意，这些题目难度较大，需要学生具备一定的数学基础和解题技巧。建议学生在解题时注意方法，逐步提高解题速度和正确率。
当然可以，这里给出一个简单的数学竞赛题例子，它涉及到了一些基础的代数知识。
题目：
给定一个正整数 n，证明存在一个大于 1 的整数 k，使得 n 是一个 k 的 k 次方方幂减去 k。
证明：
首先，我们假设 n 是一个正整数的平方，即 n = m^2。那么我们可以得到 k = m^2 和 k^2 = n + k。但是，由于 k^2 - k = (k + 1)(k - 1) > 0，所以 k > 1。因此，我们得到了一个大于 1 的整数 k，使得 n 是 k 的 k 次方方幂减去 k。
现在，我们假设 n 不是正整数的平方。那么我们可以找到一个正整数 m，使得 n = m^2 + a，其中 a > 0。在这种情况下，我们可以得到 k = m^2 + a 和 k^2 = n + k + a。由于 a > 0，我们有 k^2 - k = (k + a)(k - a) > 0。因此，k > a > 0。因此，我们仍然得到了一个大于 1 的整数 k，使得 n 是 k 的 k 次方方幂减去 k。
这个题目相对简单，只需要运用一些基础的代数知识就能解决。它适合用来考察学生对代数运算的理解和运用能力。
